Question 1 : On tire une
carte dans un jeu de 32 cartes. |
Question 2 :
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On considère les évenements suivants A : " la carte tirée est un roi " B : " la carte tirée est un tréfle " Quel évenement correspond à " obtenir un tréfle qui se soit pas un roi " ? C'est l'évènement A ∩ B |
Question 3 : Une
urne contient 5 boules : 2 vertes, 2 rouges et une blanche. On tire au
hasard et successivement 2 boules de l'urne. Tous les tirages sont équiprobables,
on considère l'événement A : " obtenir au moins une boule rouge " définir sous forme d'une phrase l'événement contraire A Réponse : A : " ne pas obtenir de boule rouge " |
Question 4 : Un sac contient 5 jetons. On prélève au hasard et successivement et sans remise 3 jetons. Déterminer le nombre de résultats possibles ( éventualités ) de cette expérience aléatoire. Réponse : il y a 5 × 4 × 3 tirages possibles soit 60 tirages possibles. card Ω = 60 ( en fait ici le nombre de cas possible est le nombre d'arrangements ...) |
Question
5 : Dans une classe de 30 élèves, on doit désigner
au hasard 2 élèves comme représentants de classe.
Déterminer le nombre d'éventualités associé
à cette expérience aléatoire. C'est le nombre de combinaison de deux éléments parmi 30 éléments : soit 30 × 29 / 2 = 435 Explication pour ceux qui n'auraient pas vu les combinaisons : Si on avait procédé à un tirage succéssivement de 2 élèves parmi 30 , il y aurait eu 30 choix possibles pour le premier élève et 29 possible pour le deuxième soit 30 × 29 mais la mesure ou ici le tirage est simultané il ne faut pas compter deux fois la combinaison ( élève 1, élève 2) et (élève 2, élève 1) donc il suffit de diviser par 2. |
Question 6 :
Un parking contient 5 places, dans lequel peuvent se garer 5 voitures.
Déterminer le nombre de possibilités sachant qu'aucune place
ne doit être vide : Ici le nombre de possibilités est égal au nombre de permutations de 5 éléments. c'est à dire 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Pour ceux qui ne comprennent pas cette explication, faites un arbre : |
Question 7 : On
lance cinq fois de suite une pièce de monnaie. Sur chaque lancer
on regarde si on obtient pile ou face, exemple de résultat possible
pile, pile, pile, face, face noté PPPFF. Déterminer le nombre
d'éventualités associé à cette expérience
aléatoire.
card Ω = 25 = 32 |
Question 8 : Deux dés
cubiques ont leurs faces numérotées respectivement 1,2,3,4,5,6.
On lance simultanément les deux dés et on note le chiffre
marqué sur la face supérieure de chacun des dés.
Déterminer le nombre d'éventualités associé à cette expérience aléatoire. card Ω = 62 = 36 |
Question 9 : Combien
de mots distincts de 4 lettres ( suite ordonnée de 4 lettres sans
forcément avoir de signification ) peut - on fabriquer en prenant
les lettres du mot " maths " ?
il y a 5 choix possibles pour la première lettre, puis 4 choix possibles pour la suivante une fois la première choisie, etc... 5 × 4 × 3 × 2 = 120 |
Question 10 : Quelle est l'affirmation
correcte parmi ces 3 propositions ?
Deux évenements contraires sont incompatibles. Deux évenements incompatibles sont contraires. Si deux évenements sont incompatibles alors leurs contraires le sont aussi. Il fallait répondre : Deux évenements contraires sont incompatibles en effet : A ∩ A = ∅ |
Question 11 : Soit A un évenement tel que p(A) = 0,18 alors p(A) = 1 - P(A) = 1 - 0,18 = 0,82 |
Question 12 : Soient
A et B deux évenements tels que p(A) = 0,2 , p(B) = 0,3 et p(A∩B)
= 0,1 alors p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0,2 + 0,3 - 0,1 = 0,4 |
Question 13 : Soient
A et B deux évenements tels que p(A) = 0,2 , p(A∪
B) = 0,7 alors
d'où p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 0,7 d'où p(B) = 0,7 + p(A ∩ B) - 0,2 d'où p(B) ≤ 0,5 |
Question 14 : Soient
A et B deux évenements tels que p(A) = 0,2 , p(B) = 0,8 , p(A ∪
B) = 1 alors
d'où p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 1 d'où 1 + p(A ∩ B) = 1 d'où p(A ∩ B) = 0 d'où A ∩ B = ∅ d'où A et B sont incompatibles comme de plus p(A ∪ B) = 1 c'est à dire A ∪ B = Ω A et B sont contraires. |
Question 15 : Une
urne contient 5 boules : 2 vertes, 2 rouges et une blanche. On tire au
hasard et simultanément 2 boules de l'urne. Tous les tirages sont
équiprobables, on considère l'événement A : " obtenir deux boules de même couleur " Calculer p(A) Le nombre de combinaisons de 2 boules parmi 5 est de 5!/(2! × 3!) = 10 p(A) = 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5 |
Question 16 : On tire une carte
dans un jeu de 32 cartes. On considère les évenements suivants A : " la carte tirée est un roi " B : " la carte tirée est un tréfle " Calculer la probabilité de l'évenement A∪ B p(A ∩ B) = 1/32 p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 4/32 + 8/32 - 1/32 = 11/32 |
Question 17 : Un
sac contient 5 jetons indiscernables au touché numérotés
1, 2 , 3 , 4 et 5 . On prélève au hasard et successivement et avec remise 2 jetons. Calculer la probabilité de l'évenement A : " la somme des numéros obtenus sur les jetons est 5 " A = {(2;3),(3;2);(1;4);(4;1)} p(A) = 4/52 = 4/25 |
Question 18 : Dans
une classe de 30 élèves dont 12 filles, on doit désigner
au hasard 2 élèves comme représentants de classe.
Déterminer la probabilité de l'évenement : A : " les deux représentants sont des filles " p(A) = C122/C302 p(A) = 66/435 = 22/145 |
Questions
19 à 25 : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. Sur chaque lancer on regarde si on obtient pile ou face, exemple de résultat possible pile, pile, face noté PPF Question 19 : Déterminer le nombre de résultats possibles. 23 = 8 On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fois ou pile apparaît sur ces trois. Question 20 à 23 : Déterminer la loi de probabilité de X : (X = 0) = {FFF} donc p(X = 0) = 1/8 (X = 1) = {PFF;FPF;FFP} donc p(X = 1) = 3/8 (X = 2) = {PPF;PFP;FPP} donc p(X = 2) = 3/8 (X = 3) = {PPP} donc p(X = 3) = 1/8 Question 24 : Déterminer l'espérance mathématique de X : E(X) = 0 × 1/8 + 1 × 3/8 + 2 × 3/8 + 3 × 1/8 = 12/8 = 3/2 Question 25 : Déterminer la variance mathématique de X V(X) = 1/8 × (0 - 3/2)² + 3/8 × (1 - 3/2)² + 3/8 × (2 - 3/2)² + 1/8 × (3 - 3/2)² V(X) = 1/8 × 9/4 + 3/8 × 1/4 + 3/8 × 1/4 + 1/8 × 9/4 V(X) = 9/32 + 3/32 + 3/32 + 9/32 = 24/32 = 3/4 |
Question 26 : La loi de probabilité
d'une variable aléatoire est définie par : P(X = 2) =1/2 ; p(X = 3) = 1/3 ; p(X = a) = 1/6 où a est un réel donné. Déterminer le nombre a sachant que l'espérance mathématique de cette variable aléatoire est nulle. E(X) = 0 d'où 2 × 1/2 + 3 × 1/3 + a × 1/6 = 0 d'où a/6 = -2 donc a = -12 |
Questions
27,28 ( probabilité conditionnelle, indépendance ) ( pB(A) : probabilité de A sachant B ) Soit A et B deux évenements indépendants alors : p(A ∩ B) = p(A) × p(B) pB(A) = p(A ∩ B) / p(B) = p(A) × p(B)/p(A) = p(B) |
Questions
29 à 33 ( probabilité conditionnelle ) Deux machines A et B et produisent des pièces, 40 % proviennent de la machine A et donc 60 % de la machine B . La machine A produit 3 % de pièces défectueuses et la machine B en produit 5 %. On tire au hasard une pièce et on nomme les évenements : A : " la pièce provient de la machine A" B : " la pièce provient de la machine B " D : " la pièce est défectueuse " Question 29 : On utilise un arbre probabiliste pour traduire les données lequel vous paraît correct ? Question 30 : En utilisant directement l'arbre probabiliste de la question précédente , déterminer la probabilité que la pièce soit defectueuse sachant qu'elle vienne de la machine A : pA(D) = 0,03 Question 31 : En utilisant l'arbre probabiliste de la question précédente, calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse et qu'elle provienne de la machine B. p(B ∩ D) = p(B) × pB(D) = 0,6 × 0,05 = 0,03 Question 32 : Calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse A et B représentent une partition de Ω donc d'après la formule des probabilités totales : p(D) = p(A ∩ D) + p(B ∩ D) = 0,4 × 0,3 + 0,03 = 0,042 Question 33 : Calculer la probabilité que la pièce provienne de la machine A sachant qu'elle est défectueuse pD(A) = p(A ∩ D)/p(D) = 0,012/0,042 = 12/42 = 2/7 |
Question 34 à 37 ( Loi Binomiale ) La probabilité qu'un tireur atteigne une cible est égale à 1/3. Question 34 : Sur 5 tirs, indépendants les uns des autres, quelle est la probabilité que le tireur atteigne la cible aucune fois ? (2/3)5 = 32/243 Question 35 : Sur 5 tirs, indépendants les uns des autres, quelle est la probabilité que le tireur atteigne la cible deux fois exactement ? C52(1/3)2 × (2/3)3 = 10 × 1/9 × 8/27 = 80/243 Question 36 : Sur 5 tirs, indépendants les uns des autres, quelle est la probabilité que le tireur atteigne au moins la cible une fois ? Soit la variable X donnant le nombre de fois ou le tireur atteint sa cible durant les 5 tirs. p(X ≥ 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 32/243 = 211/243 Question 37 : Combien de fois doit-il tirer pour que le probabilité d'atteindre au moins une fois la cible soit supérieure à 0,99 ? p(X ≥ 1) ≥ 0,99 équivaut à 1 - p(X = 0) ≥ 0,99 équivaut à p(X = 0) ≤ 0,01 équivaut à (2/3)n ≤ 0,01 équivaut à n ≥ ln(0,01)/ln(2/3) soit n ≥ 12 Il doit tirer au moins 12 fois ! |
Question 38,39,40 |