suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r ( c'est une définition par récurrence)
Pour tout entier naturel n : un+1 = un+ r
Remarque : pour démontrer qu'une suite est arithmétique il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité :
un+1 - un = constante .



Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ème terme, si on connaît le troisième terme u2 de la suite, en effet il faut calculer u3 , puis u4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u28 (29 ème terme)



Expression de un en fonction de u0 et de n

On peut d'après la définition écrire les n égalités, en additionnant membre à membre ces n égalités, on obtient après simplification la relation :


Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u0 par n'importe quel terme up de la suite.


On peut comprendre aussi cette formule de cette façon :

un = up + (n - p)r
Remarques :

en fait toute suite explicitement définie par un = an + b ( ou a et b sont deux réels fixés ) est une suite arithmétique de premier terme u0 = b et de raison a. On peut voir aussi la suite arithmétique comme la restriction à de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b

Variation et convergence


Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique