translation

La translation de vecteur est une isométrie du plan ou de l'espace . C'est la transformation du plan ou de l'espace qui à tout point M du plan ou de l'espace associe le point M' tel que :
L'image d'un triangle ABC est un triangle A'B'C' isométrique.

L'image d'un cercle C de centre O est un cercle de même rayon et de centre O' image de O par la translation de vecteur


l'image d'une droite D est une droite D' parallèle (éventuellement confondue ) à D

Ce qui suit est hors programme lycée :
Considérons l'application vectorielle associée à la translation t de vecteur , déterminons l'image d'un vecteur par cette transformation :
Soient M et N deux points du plan ou de l'espace tels que = d'image respective M' et N' on a :

donc () = autrement dit l'application vectorielle associée à t est l'identité vectorielle qui est une application linéaire. On peut en conclure que la translation est une application affine.
Traduction analytique d'une translation dans l'espace
Dans l'espace muni du repère (O; ;; ) soit M(x ; y ; z) un point quelconque et M'(x' ; y' ; z') son image par la translation de vecteur (a ; b ; c) de on en déduit :

ce que l'on peut encore écrire sous forme matricielle :