Définition :
soit Ω un univers
, on dit qu'une variable aléatoire est continue si l'ensemble des
valeurs de X est un intervalle de
La probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur donnée
de l'intervalle est nulle.
On ne peut donc plus définir de loi de probabilité comme
pour les variables aléatoires discrètes.
On va utiliser dans ce cas la fonction de répartition de la variable
aléatoire.
Fonction de répartition d'une variable aléatoire continue
C'est l'application F définie sur
par F( x )
= P( X x )
cette application est à valeur dans l'intervalle [ 0 ; 1 ] puisqu'une
probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
Quelques propriétés de la fonction de répartition
:
Densité de probabilité d'une variable aléatoire
continue
On appelle densité de probabilité toute fonction f
définie continue ( sauf éventuellement en un nombre fini
de points ) et positive sur
et telle que :
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de répartition
F alors :
Espérance mathématique d'une variable aléatoire
continue :
L'espérance mathématique d'une variable continue X est le
nombre réel (si il existe ) , noté E(X) défini par
:
Variance mathématique d'une variable aléatoire continue
:
La variance mathématique d'une variable continue X est le nombre
réel (si il existe ) , noté V(X) défini par :
Ecart - type
L'écart type est la racine carrée de la variance :