Ensemble /n des classes d'équivalence de congruence

Définition : /n est l'ensemble des classes d'équivalence pour la congruence modulo n .

Propriété :
L'ensemble /n comporte n classes d'équivalence en effet , pour que deux entiers relatifs x et y soient congrus modulo n dans , il faut et il suffit qu'ils aient le même reste dans la division euclidienne par n, or il y a n restes distincts possibles dans une division euclidienne par n, ces n restes sont : 0 ; 1 ; 2 ;....; n -1.
Un élément de /n est donc noté ou [x]n , si le reste correspondant, dans la division euclidienne par n est x.
/n = { ; ; ; ; ; ; ;; .....; }

Addition dans /n :
on sait que la somme de deux entiers relatifs congru modulo n est encore un entier congru modulo n, l'addition dans induit sur /n, une addition commutative et associative admettant pour élément neutre la classe d'équivalence :

on peut donc en conclure que (/n ; +) est un groupe commutatif.

Remarque : pour visualiser les propriétés de l'additions dans /n, utilisez la table d'addition

Multiplication dans /n :
On sait que le produit de deux entiers relatifs congru modulo n est encore un entier congru modulo n, la multiplication dans induit sur /n, une multiplication commutative et associative et distributive par rapport à l'addition (définie précédemment définie) admettant pour élément neutre la classe d'équivalence :

Remarque : pour visualiser les propriétés de la multiplication dans /n, utilisez la table de multiplication.
On peut donc en conclure que (/n ; + ; ×) est un anneau commutatif et unitaire. (La commutativité de l'addition et de la multiplication sur /n est mise en évidence, par une symétrie des résultats par rapport à la diagonale descendante sur les tables d'addition et de multiplication.)

Eléments inversibles de /n ( n)
Les éléments inversibles de l' anneau (/n ; + ; ×) sont les éléments qui admettent des symétriques pour la seconde loi × de l'anneau. ( pour comprendre utilisez la table de multiplication dans /n et regardez les couples dont les produits sont égaux à , vous verrez que dans certains cas, certains éléments n'ont pas d'inverse pour la multiplication)

Propriété : les éléments inversibles dans l'anneau
(/n ; + ; ×) sont les éléments tels que x et n sont premiers entre eux.

Démonstration :
est inversible dans /n
/n ; =
y ; xy ≡ 1 [n]
(k ; y) ² ; xy - 1 = k n
(k ; y) ² ; xy - k n = 1
x et n sont premiers entre eux ( théorème de Bezout )

Propriété importante
(/n ; + ; ×) est un corps n est un nombre premier

Démontration :
(/n ; + ; ×) est un corps
/n - {} , est inversible
{ ; ; ....; } , est inversible
x { 1; 2; ....; n-1} , x et n sont premiers entre eux
n est premier.