Définition : /n
est l'ensemble des classes
d'équivalence pour la congruence
modulo n .
Propriété :
L'ensemble /n
comporte n classes d'équivalence
en effet , pour que deux entiers relatifs x et y soient congrus
modulo n dans
, il faut et il suffit qu'ils aient le même reste dans la
division euclidienne par n,
or il y a n restes distincts possibles dans une division euclidienne
par n, ces n restes sont : 0 ; 1 ; 2 ;....; n -1.
Un élément de /n
est donc noté
ou [x]n , si le reste correspondant,
dans la division euclidienne par n est x.
/n
= {
;
;
;
;
;
;
;
;
.....;
}
Addition dans /n
:
on sait que la somme de deux entiers relatifs congru modulo
n est encore un entier congru
modulo n, l'addition dans
induit sur
/n
,
une addition commutative et associative admettant pour élément
neutre la classe d'équivalence
:
on peut donc en conclure que (/n
; +) est un groupe commutatif.
Remarque : pour visualiser les propriétés de l'additions
dans /n
,
utilisez la table d'addition
Multiplication dans /n
:
On sait que le produit de deux entiers relatifs congru modulo n
est encore un entier congru modulo n, la multiplication dans
induit sur
/n
,
une multiplication commutative et associative et distributive par
rapport à l'addition (définie précédemment
définie) admettant pour élément neutre la classe
d'équivalence
:
Remarque : pour visualiser les propriétés
de la multiplication dans /n
,
utilisez la table de multiplication.
On peut donc en conclure que (/n
; + ; ×) est un
anneau commutatif et unitaire.
(La commutativité de l'addition et de la multiplication sur
/n
est mise en évidence, par une symétrie des résultats
par rapport à la diagonale descendante sur les tables
d'addition et de multiplication.)
Eléments inversibles de /n
( n
)
Les éléments inversibles
de l' anneau (/n
; + ; ×) sont
les éléments qui admettent des symétriques
pour la seconde loi ×
de l'anneau. ( pour comprendre utilisez la table
de multiplication dans
/n
et regardez les couples dont les produits sont égaux à
, vous verrez
que dans certains cas, certains éléments n'ont pas
d'inverse pour la multiplication)
Propriété : les éléments inversibles
dans l'anneau
(/n
; + ; ×) sont
les éléments tels que x
et n sont premiers entre eux.
Démonstration :
est inversible
dans
/n
/n
;
=
y
; xy ≡
1 [n]
(k
; y)
² ;
xy - 1 = k n
(k
; y)
² ;
xy - k n = 1
x et n sont premiers
entre eux ( théorème
de Bezout )
Propriété importante
(/n
; + ; ×) est un
corps
n est
un nombre premier
Démontration :
(/n
; + ; ×) est un
corps
/n
- {
} ,
est inversible
{
;
; ....;
} ,
est inversible
x
{ 1; 2; ....;
n-1} , x et n sont premiers entre
eux
n est premier.